Министерство общего и профессионального образования Ростовской области
Автономная некоммерческая организация «Информационные технологии в образовании»
ООО «Компания ГЭНДАЛЬФ»
Ростовский областной институт повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования
Южный федеральный университет
XVI Южно-Российская межрегиональная
научно-практическая конференция-выставка
«Информационные технологии в образовании»
«ИTO-Ростов-2016»
17-18 ноября 2016 года, г. Ростов-на-Дону

О ПРИМЕНЕНИИ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ И ИКТ

Автор: Карташян Марсел Вардгесович, Почётная грамота министерства общего и профессионального образования Ростовской области, лауреат премии губернатора Ростовской области
муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение г. Шахты Ростовской области «Гимназия имени А.С.Пушкина»
После изучения основных свойств каждой функции целесообразно пояснить учащимся алгоритм исследования остальных функций, принадлежащих этому семейству. С помощью презентации или программы MS Word на одном рисунке представляются свойства основной элементарной функции и свойства сложной функции этого семейства. График функции строится в среде программы GeoGebra.

О свойствах и графике функции y=lnx учащиеся имеют достаточное представление, однако затрудняются исследовать функции y=ln(x2+x),  и, вообще, функции вида y=ln(f(x)). На экране с одной стороны представляются свойства функции y=lnx, а с другой y=ln(f(x)). Область определения функции определяется неравенством f(x)>0. Если f(x)=1, то ln(f(x))=0, если f(x)>1, то ln(f(x))>0, а если 0<f(x)<1, то ln(f(x))<0. На определённом промежутке функции ln(f(x)) и f(x) возрастают или убывают (например, при x<1 функции    ln(1-x) и 1-x убывают).

Для исследования и построения графика функции (и не только) желательно ввести понятие асимптоты.

С помощью GeoGebra построим несколько графиков, предварительно представляя на экране основные свойства.

1. . Найдём область её определения: , (x-1)(x+1)<0, -1<x<1. Нули функции находим при решении уравнения , а промежутки знакопостоянства – при решении неравенств . Однако целесообразно составить функцию  и применить метод интервалов. При x=0 φ(x)=0, следовательно, y=0. Если -1<x<0, то y>0 (φ(x)>0), а если 0<x<1, то y<0 (φ(x)<0). График изображён на рис. 1.

             Рис. 1

2. . D(y)=R. Поскольку возрастание и убывание данной функции зависит от x2-3x+2, то исследуем функцию φ(x)= x2-3x+2=(x-1)(x-2). На промежутках x<1 и x>2 φ(x)>0, следовательно, y>1. На промежутке 1<x<2 φ(x)<0, следовательно, 0<y<1. x=1,5 – единственная критическая точка и . При x=1 или x=2 φ(x)=0, значит, y=1. На промежутке x<1,5 функции φ(x) и y убывают, а на x>1,5 – возрастают (рис. 2).

             Рис. 2

3. . На экране сначала появляются свойства функции y=a(a>0, a≠1), а затем свойства данной функции. D(y)=R. Пусть φ(x)=1-x2=-(x-1)(x+1). При x<1 или x>1 φ(x)<0, значит, 0<y<1. В точках x= φ(x)=0, значит, y=1. Если -1<x<1, то 0<φ(x)≤1. Значит, 1<y≤2, причём yнаиб.=y(0)=2. Функции φ(x) и y возрастают на промежутке x≤0, а убывают на x≥0. Функция чётная (рис. 3).

    Рис. 3

4. . С помощью свойств функции y=sinx исследуем функции вида y=Asin(ωx+φ). Область определения функции y=Asin(f(x)) совпадает с областью определения функции f(x). В частности, если f(x)=ωx+φ, то D(y)=R. Период функции y=Asin(ωx+φ) равен . Если 0≤ωx+φ≤2π, то при A=1 функция y=sin(ωx+φ) на промежутке  принимает такие же значения, как функция y=sinx на промежутке 0≤x≤2π.

Решая двойное неравенство , получим . На этом промежутке данная функция принимает такие значения, какие принимает функция y=sinx на промежутке 0≤x≤2π (рис. 4).

        Рис. 4

5. . Нам известно поведение функции y=tgx на промежутке . Решая двойное неравенство , получим -1,25π<x<0,75π. На этом промежутке поведение данной функции совпадает с поведением функции y=tgx на промежутке   (рис. 5).

             Рис. 5

6. . Исходя из свойств функции y=arcsinx, исследуем данную функцию. Найдём область определения: . Значит, D(y)=R, а . При x=0 y=0. Найдём критические точки. , следовательно, в точках x= производная не существует. Однако функция определена в этих точках и . При x(–∞; –1)U(1; +∞) y<0, а при x(-1; 1) y>0. С другой стороны, y>0, если x>0 и y<0, если x<0. y(-x)=-y(x) и, наконец, . График изображён на рис. 6. При построении графика функции с помощью компьютерной программы пришлось применить формулу , если -1<a<1.

    Рис. 6

7. . Воспользуемся свойствами функции y=arctgx. Данная функция не определена только в точках x=. Прямые x= являются вертикальными асимптотами. Функция чётная. , значит, y<0 при x<0, x≠-1 и y>0 при x>0, x≠1. x=0 – точка минимума и . . График изображён на рис. 7.

    Рис. 7

Вид представления доклада  Публикация
Уровень  Основное общее образование
Ключевые слова  Свойства функции, график, GeoGebra

В статусе «Черновик» Вы можете производить с тезисами любые действия.

В статусе «Отправлено в Оргкомитет» тезисы проходят проверку в Оргкомитете. Статус «Черновик» может быть возвращен тезисам либо если есть замечания рецензента, либо тезисы превышают требуемый объем, либо по запросу участника.

В статусе «Рекомендован к публикации» тезис публикуется на сайте. Статус «Черновик» может быть возвращен либо по запросу участника, либо при неоплате публикации, если она предусмотрена, либо если тезисы превышают требуемый объем.

Статус «Опубликован» означает, что издана бумажная версия тезиса и тезис изменить нельзя. В некоторых крайне редких ситуацих участник может договориться с Оргкомитетом о переводе тезисов в статус «Черновик».

Статус «Отклонен» означает, что по ряду причин, которые указаны в комментариях к тезису, Оргкомитет не может принять тезисы к публикации. Из отклоненных тезис в «Черновики» может вернуть только Председатель программного или председатель оргкомитета.